数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!　の読書会ページ

P.35の問題番号「11」 に対する解答

半径１、中心角２θの扇形の重心の位置は？
p.36とは別の解法）
この扇形を「頂角2θの二等辺三角形の部分」と「扇形から二等辺三角形を引いた部分」
に分けて考える。
このとき、扇形の重心を計算する式の分母は、
x・2x tan(θ) をxについて0からcos(θ）まで積分したもの(二等辺三角形部分)と、
x・2√(1-x^2) をxについてcos(θ）から1まで積分したもの(残り部分)の和となり、
計算すると、
　2sin(θ)/3
となる。一方、中心角２θの扇形の面積はθとなるので、扇形の重心位置は
　2sin(θ)/(3θ)
となる。

なお、p.36の解説で、
『極微の世界では扇形の面積は三角形と同じで、
中心角Δθの扇形の重心は原点から2/3のところにある（27ページ例題１を参照）。』
とある。間違ってないが、27ページの例題１は、直角二等辺三角形の例であり、
頂角Δθの二等辺三角形の重心ではないことに注意。
厳密には、頂角Δθの二等辺三角形の重心は、
　2cos(Δθ/2)/3
となり、Δθが十分小さいとすると、近似的に
　2/3
が得られる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2016-06-15 06:26:22

P.46の問題番号「16」 に対する解答

解答に対する補足
sin(54°) = (1 + √5)/4
がいきなり出てきたので、補足メモ。

1つの角が54°の直角三角形を考える。
この直角三角形のもう一つの角は36°。
そこで、θ=18°とすると、
　54°= 3θ
　36°= 2θ
と書くことができる。これを使うと直角三角形から、
　sin(3θ) = cos(2θ)　…①
　cos(3θ) = sin(2θ)　…②
という関係式が得られる。まず②式から、
　sin(θ）= (-1 + √5)/4
が得られる。これを①式の右辺に代入すると、
　sin(54°) = sin(3θ) = 1 - 2 sin^2(θ) = (1 + √5)/4
が得られる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2016-06-17 06:29:13

P.71の問題番号「27」 に対する解答

1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n)
=1^2 + 3^2 +…+ n^2 (nが奇数）
=2^2 + 4^2 +…+ n^2 (nが偶数）

p.72とは別の証明）
1+2+…+n = n(n+1)/2
を利用すると、
　1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n)
　= Σ_{k=1}^{n} k(k+1)/2　・・・①
と書くことができる。ここで、
Σ_{k=1}^{n}　はkについて1からnまでの和を表わす。

nが偶数の場合
n = 2m とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、
　① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1)(2k)/2
　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k^2 + k) + Σ_{k=1}^{m} (2k^2 - k)
　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k)^2
　　 = 2^2 + 4^2 +…+ n^2
が得られる。

nが奇数の場合
n = 2m+1 とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、
　① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2k)/2
　　 = Σ_{k=1}^{m} {(2k-1)+1}{(2k-1)+2}/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1){(2k-1)+1}/2
　　 + (m+1)(2m+1)
　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + Σ_{k=1}^{m} (4k-1) + (m+1)(2m+1)
　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + (2m+1)^2
　　 = Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)^2
　　 = 1^2 + 3^2 +…+ n^2
が得られる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2016-06-29 05:22:05

P.81の問題番号「32」 に対する解答

補足）３次方程式なので、複素数解は３つ。
３次方程式　x^3 = m x + n　の実数解を
　 x = P + Q (ここで、P＞Q）
とおく。このとき、p.82の解法から、Pは
　(∛p)^3 = P^3
の解である。したがって、この∛pについての３次方程式の複素数解は
　∛p = P, Pω, P/ω　（ここでω=e^{2πi/3}）
の３つとなる。一方、∛qは
　3∛p∛q = m
を満たすことを考慮すると、上記∛pの解の順序に対応して、
　∛q = Q, Q/ω, Qω
となる。したがって、３次方程式　x^3 = m x + n　の複素数解は
　x = P + Q, Pω + Q/ω, P/ω + Qω
の３つとなる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2016-07-06 04:31:00

P.95の問題番号「39」 に対する解答

p.96の解答は正しい？

問題
　dの間隔で等間隔に引かれた平行線で覆われている水平面上に、
　長さr(≦d)の針を1本落としたとき、その針が平面上の線と交わる確率。

解説
今、xy平面を考え、x = …,-d, 0, d, …の位置に
y軸と平行な線が引かれているとする。
この平面上に、長さr(≦d)の針を落としたとき、
針の両端点A,Bが次のようになる場合を考える。
　Aの座標を(a,0)とする。ここで0≦a≦dとする。
　（つまり、端点Aはx軸上の0からdの範囲を動く。）
　Bの座標を(x,y)とする。ここでx≧a, y≧0とする。
針をどのように落としても、
座標変換を行うことで常にこの状態に変換することができる。

この状態での端点Bの軌跡を考えると、
端点Bは次の２つの領域に現れる。
領域α：長方形領域(0≦x≦d,0≦y≦r)から
　　　　中心を原点(0,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域
　　　　を除いた領域
　　　　（ここで、θはx軸正の向きからのなす角）
領域β：中心を原点(d,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域

したがって、問題の「針が平行線に交わる」という状況は、
この場合、端点Bが領域βに現れるときのことになるので、
針が平行線に交わる確率は、
　領域βの面積/(領域αの面積+領域βの面積)
で表されるはず。
　領域βの面積 = πr^2 / 4
　領域αの面積+領域βの面積 = d r
となるので、結局、針が平行線に交わる確率は、
　πr/4d
となる。

※p.96の解答では、この確率は2r/πdとなっており、
上記の答えと異なっていますが、どこが間違っているのでしょうか。

投稿者：goodbook 投稿日時：2016-07-13 04:59:02