数学〈超・超絶〉難問　の読書会ページ

P.17の問題番号「Q3」 に対する解答

p.18とは別の方針による解法。

3つの箱をA,B,Cと区別し、その中に入る玉の数をそれぞれa,b,cとしたとき、
　a ≦ b ≦ c
に制限して考える。

その上で、a = k とすると、b,cへの分配の仕方は、
　[ ( n - k ) / 2 ] + 1 - k　…　(1)
となる。
ここで、[] はガウス記号で、[]の中の数を超えない最大の整数を表す。

(1)の式は、まず、(n - k)個の玉をb,cの2つに分割する方法として
　(b,c) → (0,n-k), (1, n-k-1), (2, n-k-2),…,(n-k,0)
のケースが考えられるが、
b ≦ cを考慮すると、その約半分である
[ ( n - k ) / 2 ] + 1　個のケースがb ≦ cを満たすことが分かる。
さらに、a = k ≦ b　も考慮すると、
　(b,c) → (0,n-k), (1, n-k-1), …, (k-1, n-k-(k-1))
のk個のケースはk ≦ b を満たさないので、この分は取り除き、
結局、(1)式の分配数が得られる。

最後に、a = k は0から[n/3]個までの値をとることができるので、
(1)をkについて、0から[n/3]個まで足し上げることで、
この問題の解が得られる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2017-09-02 05:51:02

P.23の問題番号「Q5」 に対する解答

p.24の解法がきれいですが、
ちょっと泥臭い方法もあったので、一応メモ。

①まず、「狐は互いに隣り合わない」ということなので、
　これから、「狐の左隣りは常に鴨が座る」
　つまり、「狐１匹につき、椅子を２席確保する」と考える。

②このとき、椅子を１から１２まで右から左に横並びに並べると、
　狐がＮ匹の場合の席の決め方は、
　「（１２－Ｎ）個の中から、Ｎ個を選ぶ数」となる。

③ただ、今回椅子は横並びではなく、
　円卓の周りにならべられている。
　これを考慮すると、②の計算では、
　狐が１２番目の席に座る場合が数えられていないことが分かる。
　なので、１２番目の席に狐が座っている場合、
　残りの（Ｎ－１）匹の狐の席の決め方は、
　「（１２－Ｎ－１）個の中から、（Ｎ－１）個を選ぶ数」となる。

④②と③の計算をＮ＝０から６まで行い、すべて加えると、この問題の解となる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2017-09-09 06:33:09

P.29の問題番号「Q7」 に対する解答

p.30の解答より比較的簡単と思われる解法を見つけたので、メモ。

p.25 Q6の②加法公式と、（n 0) = (n-1 0) （←括弧の中身は縦書き）
を利用して、整理すると、（-1)^m (n-1 m)の項のみが残る。

投稿者：goodbook 投稿日時：2017-09-14 05:46:13